经典的面试题：为什么 0.1 + 0.2 ≠ 0.3？

编程界很经典的一个问题：为什么0.1 + 0.2 ≠ 0.3？面试中突然被问起，一时之间却不知道怎么回答。只记得与二进制有关，但具体是怎么来着，却有点说不清楚了。

后来查找了相关资料，才知道0.1 + 0.2 ≠ 0.3的来龙去脉。

简单来说：

• 0.1的二进制是：0.0001100110011...（无限循环0011）
• 0.2的二进制是：0.001100110011...（无限循环0011）

由于计算机的存储空间有限，所以两个无限循环的二进制必须被截断存储，从而使两个数丢失了原本的精度。

• 0.1实际存储的值是0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
• 0.2实际存储的值是0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125

两数相加：

0.10000000000000000555...
+
0.20000000000000001110...
=
0.3000000000000000444...

其结果被浮点精度截断后就是：0.30000000000000004。

到这里，基本上就可以讲清楚0.1 + 0.2 ≠ 0.3的问题了。

如果还要进一步深挖，你可能还有很多疑问：

• 小数的二进制是如何转换的？
• 计算机是如何存储小数的？
• 计算机是如何处理小数相加的？

小数的二进制转换

我们知道，整数的二进制表示：b * 2^(n - 1)，b表示二进制位的系数，n表示第几位。比如十进制6可以表示：

6 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0
  = 110

同理，小数部分的二进制表示方法类似：b * 2^(-n)。比如：0.25可以这样表示：

0.25 = 0 * 2^-1 + 1 * 2^-2
     = 0.01

对应的二进制就是：0.01。

计算小数部分的二进制方法可以使用乘2取整法：

举例：0.625的二进制：

1. 0.625 * 2 = 1.25，整数1，小数0.25；
2. 0.25 * 2 = 0.5，整数0，小数0.5；
3. 0.5 * 2 = 1，整数1，小数0，结束。

顺序排列，就可以得到：0.101。

相同的方法就可以计算出0.1和0.2的二进制，有兴趣的话可以自行验证。

计算机如何存储小数

计算机通常都是使用IEEE 754 标准的双精度浮点数进行小数的存储，也是就64bit。

存储结构：

1bit    符号位
11bit   指数
52bit   尾数

实际能存储的小数的二进制尾数只有52位，超出后就会被截断。

所以，一个小数在计算机中其实是通过指数表示法来存储的，比如：0.625，对应的二进制是0.101。指数表示就是：

-1^s * 1.01 * 2^-1

• s是符号位，0或1，上例中s = 0；
• 01存储在尾数部分，1.不需要存储，默认隐含；
• -1需要加上1023后，以二进制形式存储在指数部分。

小数的加法计算

基于小数的存储结构，做加法运算时，必须先统一指数（也就是对阶），然后再进行二进制加法运算。

我们再来梳理一下0.1 + 0.2的计算过程：

1. 0.1的二进制

0.1 = 0.0001100110011001100110011001100...
    # 实际有 52 位尾数，便于书写已省略，下同
    ≈ 1.1001100110011 × 2^-4

2. 0.2的二进制

0.2 = 0.0011001100110011001100110011...
    ≈ 1.1001100110011 × 2^-3

3. 对阶

0.1 ≈ 0.11001100110011 × 2^-3
0.2 ≈ 1.10011001100110 × 2^-3

4. 相加

 1.10011001100110
+0.11001100110011
-----------------
10.01100110011001

结果就是：

10.01100110011001 × 2^-3

5. 规格化

小数点左移 1 位

1.001100110011001 × 2^-2

最后转换成十进制后就是0.30000000000000004（注意：上面的数据不是完整的52位尾数，若要验证需要使用完整的52位尾数进行计算）。

最后

总结几个关键字：转二进制→无限循环→截断存储→丢失精度。

好了，下次如果再被问到类似的题目，就可以扯一趴啦了。